数学基础 -- 三角学

三角学

三角学（Trigonometry）是数学的一个分支，主要研究三角形的边长与角度之间的关系。三角学在几何学、物理学、工程学等多个领域中有广泛的应用。以下是三角学的一些基本概念和公式：

基本概念

直角三角形：一个角为90度的三角形。
斜边：直角三角形中最长的边，对应于直角的对边。
对边：某个角的对边。
邻边：某个角的邻边。

三角函数

正弦函数 (sin)： $\sin(θ) = \frac{对边}{斜边}$
余弦函数 (cos)： $\cos(θ) = \frac{邻边}{斜边}$
正切函数 (tan)： $\tan(θ) = \frac{对边}{邻边}$

倒数三角函数

余割函数 (csc)： $\csc(θ) = \frac{1}{\sin(θ)}$
正割函数 (sec)： $\sec(θ) = \frac{1}{\cos(θ)}$
余切函数 (cot)： $\cot(θ) = \frac{1}{\tan(θ)}$

常用三角公式

$sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1$
$1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ)$
$1 + \cot^2(θ) = \csc^2(θ)$

常用角度的三角函数值

角度(θ)	$\sin(\theta)$	$\cos(θ)$	$\tan(θ)$
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	$1$	$0$	$\infty$

应用

解三角形：利用已知的角度和边长求解未知的角度和边长。
波动和振动：正弦和余弦函数在描述波动和振动现象中具有重要作用。
导航与定位：在GPS定位和航海中，三角函数用于计算位置和方向。

扩展三角函数定义域

扩展三角函数定义域是指将三角函数（如正弦函数、余弦函数、正切函数等）从它们在基本定义中的常见定义域（通常是角度或弧度的有限范围）扩展到更广泛的范围，通常是整个实数集。下面是一些方法和概念，帮助你理解和扩展三角函数的定义域：

周期性：
- 三角函数的一个基本特性是周期性。例如，正弦函数和余弦函数的周期为 $2\pi$ ，即对于任意实数 $x$ ，都有 $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ 和 $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$ 。
- 正切函数的周期为 $\pi$ ，即 $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ 。
无限扩展：
- 利用周期性，可以将三角函数的定义从一个有限区间扩展到整个实数集。例如，考虑正弦函数的基本定义域是 $\pi, \pi]$ ，通过利用其周期性，可以定义 $\sin(x)$ 在整个实数范围上。
复数扩展：
- 三角函数还可以扩展到复数域。通过欧拉公式 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ ，可以将三角函数扩展为复变量的函数。
- 例如，定义复数 $z = x + i y$ ，那么正弦函数的扩展为 $\sin(z) = \sin(x + iy) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y)$ ，这里 $\cosh$ 和 $\sinh$ 分别是双曲余弦和双曲正弦函数。
反函数的扩展：
- 三角函数的反函数（如反正弦、反余弦、反正切）通常有有限的定义域。例如，反正弦函数 $sin^{-1}(x)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，值域为 $\pi/2, \pi/2]$ 。
- 通过考虑这些函数的周期性，可以将其值域扩展到更广范围。
特定应用场景：
- 在一些应用中，特别是信号处理和傅里叶分析中，三角函数的定义域需要扩展到整个实数集，以处理无限时间范围内的信号。

举个具体例子，如果你想将正弦函数从基本定义域 $2\pi]$ 扩展到整个实数集，可以利用它的周期性：
$\sin(x) = \sin(x + 2k\pi)$
其中 $k$ 是任何整数。因此，对于任意实数 $x$ ，总可以找到一个整数 $k$ ，使得 $2k\pi$ 落在 $2\pi]$ 这个区间内，从而定义 $\sin(x)$ 的值。